Question

设函数f（x）=sin（wx+θ）（-π＜θ＜0），y=f（x），周期为π，图象的一个对称中心为(

π

6

，0)
（1）求f（x）的解析式
（2）求函数y=f（x）的单调增区间
（3）在△ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，S为其面积，若f(

A

2

)=0，b=1，S△ABC=

3

2

，求a的值．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由周期为π，可求得ω=2，由图象的一个对称中心为(

π

6

，0)，可解得θ=-

π

3

．从而可求得f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x-

π

3

）；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数y=f（x）的单调增区间为：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（3）由f（

A

2

）=0可求得A=

π

3

，由b=1，S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

c×

3

2

=

3

2

，解得c=2，从而由余弦定理知a²=b²+c²-2bccosA=3，即可求得a的值．

解答： 解：（1）∵周期为π，∴T=

2π

ω

=π，∴ω=2．
∵图象的一个对称中心为(

π

6

，0)，∴0=sin（2×

π

6

+θ），-π＜θ＜0，∴可解得θ=-

π

3

．
∴f（x）的解析式为：f（x）=sin（2x-

π

3

）
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，故函数y=f（x）的单调增区间为：[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z．
（3）∵f（

A

2

）=0，∴sin（A-

π

3

）=0，解得sinA=

3

cosA，从而有tanA=

3

，A为△ABC中的内角，故A=

π

3

．
∵b=1，有S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

c×

3

2

=

3

2

，解得c=2．
∴由余弦定理知：a²=b²+c²-2bccosA=1+4-2×1×2×

1

2

=3．
故求得：a=

3

．

点评：本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了余弦定理的应用，属于基本知识的考查．