Question

已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆Ω，它的离心率为

1

2

，一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，过直线l：x=4上一点M引椭圆Ω的两条切线，切点分别是A，B．
（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；
（Ⅱ）若在椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的点（x₀，y₀）处的椭圆的切线方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．求证：直线AB恒过定点C；并出求定点C的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，根据它的一个焦点和抛物线y²=-4x的焦点重合，从而求出c值，再求出a和b的值，从而求解；
（Ⅱ）切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l上一点M的坐标（4，t），求出切线方程，再把点M代入切线方程，说明点A，B的坐标都适合方程x+

t

3

y=1，而两点之间确定唯一的一条直线，从而求出定点；

解答： 解：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
抛物线y²=-4x的焦点是（-1，0），故c=1，又

c

a

=

1

2

，
所以a=2，b=

a2-c2

=

3

，
所以所求的椭圆Ω方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）设切点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直线l上一点M的坐标（4，t）．
则切线方程分别为

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1．
又两切线均过点M，
即x1+

t

3

y1=1，x2+

t

3

y2=1，
即点A，B的坐标都适合方程x+

t

3

y=1，而两点之间确定唯一的一条直线，
故直线AB的方程是x+

t

3

y=1，显然对任意实数t，点（1，0）都适合这个方程，
故直线AB恒过定点C（1，0）．

点评：此题主要考查利用导数研究函数的切线方程，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力，是一道难题；