Question

已知三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1时取极值，且f（-2）=-4．
（1）求函数y=f（x）的表达式；
（2）求函数y=f（x）的单调区间和极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导，由题意可得

f′(1)=3+2a+b=0 f′(-1)=3-2a+b=0 f(-2)=-8+4a-2b+c=-4

，从而解出参数，进而得到函数y=f（x）的表达式；
（2）由（1）知，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），根据f′（x）的正负确定函数的单调性与极值．

解答： 解：（1）f（x）=x³+ax²+bx+c，f′（x）=3x²+2ax+b；
则由题意可得，

f′(1)=3+2a+b=0 f′(-1)=3-2a+b=0 f(-2)=-8+4a-2b+c=-4

，
解得，a=0，b=-3，c=-2，
故f（x）=x³-3x-2，
（2）由（1）知，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
则当x∈（-∞，-1]∪[1，+∞）时，f′（x）≥0；
当x∈[-1，1]时，f′（x）≤0；
则函数y=f（x）的增区间：（-∞，-1]，[1，+∞）；减区间：[-1，1]．
则f（x）的极大值为f（-1）=0，
f（x）的极小值为f（1）=-4．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．