Question

已知半径为R的圆中，内接矩形为ABCD，求：
（1）矩形ABCD的周长的最大值；
（2）矩形ABCD的面积的最大值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：三角函数的求值

分析：画出图形，结合图形，设α，利用Rt△表示出矩形ABCD的周长与面积，从而求出最大值．

解答： 解：（1）如图所示，
设∠BAC=α，
在Rt△ABC中，AC=2R，
∴AB=2Rcosα，BC=2Rsinα，
∴矩形ABCD的周长是
2（AB+BC）=4R（cosα+sinα）=4

2

Rsin（α+

π

4

），
当α=

π

4

时，矩形ABCD的周长取得最大值4

2

；
（2）矩形ABCD的面积是
S=AB•BC=2Rcosα•2Rsinα=2R²sin2α，
∴当α=

π

4

时，矩形ABCD的面积取得最大值2R²．

点评：本题考查了圆内接矩形的周长与面积的应用问题，解题时应根据图形解答问题，是基础题．