Question

直角坐标系x-O-y中，

i

和

j

分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，在直角三角形ABC中，若

AB

=2

i

+

j

，

AC

=3

i

+k

j

，求k的值．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义

专题：平面向量及应用

分析：由向量的运算可得

BC

，分三种情况∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°利用向量的数量积等于零，建立关系式，再解方程求得所有可能k的值．

解答： 解：∵若

AB

=2

i

+

j

，

AC

=3

i

+k

j

，
∴

BC

=

AC

-

AB

=

i

+（k-1）

j

，
∵△ABC为直角三角形，
（1）当∠A=90°时，

AB

•

AC

=6+k=0，解得k=-6；
（2）当∠B=90°时，

AB

•

BC

=2+k-1=0，解得k=-1；
（3）当∠C=90°时，

BC

•

AC

=3+k（k-1）=0，方程无实解；
综上所述，k=-6或-1．

点评：本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件，分类讨论是解决问题的关键，属基础题．