Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=

1

2

n2+

11

2

n；数列{b_n}满足：b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，其前9项和为153．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{c_n}的前n项和，c_n=

6

(2an-11)(2bn-1)

，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由于数列{a_n}的前n项和，S_n=

1

2

n2+

11

2

n．当n=1时，a₁=S₁；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．由b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，可知数列{b_n}是等差数列，设公差为d．由于前9项和为153，利用前n项和公式即可得出．
（II）c_n=

6

(2an-11)(2bn-1)

=

6

(2n+10-11)(6n+4-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，利用“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（I）∵数列{a_n}的前n项和，S_n=

1

2

n2+

11

2

n．
∴当n=1时，a₁=S₁=

1

2

+

11

2

=6；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

2

n2+

11

2

n-[

1

2

(n-1)2+

11

2

(n-1)]=n+5．
当n=1时，上式成立，
∴a_n=n+5．
∵b₃=11，b_n+2=2b_n+1-b_n，
∴数列{b_n}是等差数列，设公差为d．
∵前9项和为153，
∴153=9b₁+

9×8

2

d，b₃=b₁+2d=11．解得b₁=5，d=3．
∴b_n=5+3（n-1）=3n+2．
（II）c_n=

6

(2an-11)(2bn-1)

=

6

(2n+10-11)(6n+4-1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴T_n=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．

点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式与前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．