Question

若曲线x²+y²+2x-4y+1=0上的任意一点关于直线2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）的对称点仍在曲线上，则

1

a

+

1

b

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由题意，曲线x²+y²+2x-4y+1=0表示的是以（-1，2）为圆心的圆，则直线2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）过圆心，从而可得a+b=1（a，b∈R⁺），利用利用不等式即可．

解答： 解：曲线x²+y²+2x-4y+1=0表示的是以（-1，2）为圆心的圆，
故由曲线x²+y²+2x-4y+1=0上的任意一点关于直线2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）的对称点仍在曲线上可得，
直线2ax-by+2=0（a，b∈R⁺）过点（-1，2），
则-2a-2b+2=0，
即a+b=1（a，b∈R⁺），
则

1

a

+

1

b

=

a+b

a

+

a+b

b

=2+

b

a

+

a

b

≥4．
（当且仅当a=b=

1

2

时，等号成立）
故答案为：4．

点评：本题考查了恒成立问题及圆的结构特征，同时考查了基本不等式的应用，属于中档题．