Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=2a_n-n，求数列{a_n}的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．
思路1：先设n的值为1，根据已知条件，计算出a₁=1，a₂=3，a₃=7．
猜想：a_n=2ⁿ-1
然后用数学归纳法证明．证明过程如下：
①当n=1时，a₁=2¹-1，猜想成立
②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即a_k=2^k-1．
那么，当n=k+1时，由已知S_n=2a_n-n，得S_k+1=2a_k+1-（k+1）．
又S_k=2a_k-k，两式相减并化简，得a_k+1=2^k+1-1（用含k的代数式表示）．
所以，当n=k+1时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对任何k∈N*都成立．
思路2：先设n的值为1，根据已知条件，计算出a₁=1．
由已知S_n=2a_n-n，写出S_n+1与a_n+1的关系式：S_n+1=2a_n+1-（n+1），
两式相减，得a_n+1与a_n的递推关系式：a_n+1=2a_n+1．
整理：a_n+1+1=2（a_n+1）．
发现：数列{a_n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．
得出：数列{a_n+1}的通项公式a_n+1=2ⁿ，进而得到a_n=2ⁿ-1．

Answer 1

分析 思路1：由S_n=2a_n-n，可求得a₁，a₂，a₃，故可猜想：a_n=2ⁿ-1； 然后用数学归纳法证明．
思路2：先设n的值为1，根据已知条件，计算出a₁，再由已知S_n=2a_n-n，写出S_n+1与a_n+1的关系式：S_n+1=2a_n+1-（n+1），两式相减，得a_n+1与a_n的递推关系式：a_n+1=2a_n+1．
继而发现：数列{a_n+1}是首项为 2，公比为2 的等比数列，于是可得：数列{a_n+1}的通项公式，进而得到a_n．

解答 本题满分8分）
解：思路1：
∵S_n=2a_n-n，
∴a₁=1，…（1分）
由1+a₂=2a₂-2得：a₂=3，…（2分）
同理可得，a₃=7，…（3分）
猜想：a_n=2ⁿ-1，…（4分）
a₁=2¹-1=1，…（5分）
a_k=2^k-1，…（6分）
S_k+1=2a_k+1-（k+1），…（，…（7分）
a_k+1=2^k+1-1．         …（8分）
思路2：
a₁=1，…（1分）
S_n+1=2a_n+1-（n+1），…（2分）
a_n+1=2a_n+1，…（3分）
a_n+1+1=2（a_n+1），…（4分）
2，…（5分）
2，…（6分）
a_n+1=2ⁿ，…（7分）
a_n=2ⁿ-1．      …（8分）

点评 本题考查数列递推式的应用，熟练掌握数学归纳法与等比数列的判断及通项公式的应用是解决问题的关键，属于中档题．