Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₁，a₂，a₄成等比数列，{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是公差不为0的等差数列，则数列{（-1）ⁿa_n}的前17项的和S₁₇=-153．

Answer 1

分析 设等差数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的公差为d（d≠0），依题意，可求得a_n=n+（n²-n）d，又a₁，a₂，a₄成等比数列，可求得d=1，继而可得a_n=n²，从而可求得数列{（-1）ⁿa_n}的前17项的和．

解答 解：设等差数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的公差为d（d≠0），
∵a₁=1，∴$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=1+（n-1）d，
∴a_n=n+（n²-n）d，
又a₁，a₂，a₄成等比数列，
∴[2+（2²-2）d]²=1•[4+（4²-4）]d，整理得：d²=d，又d≠0，
∴d=1，
∴a_n=n+（n²-n）×1=n²，
∴数列{（-1）ⁿa_n}的前17项的和：
S₁₇=-1²+2²-3²+4²-…-15²+16²-17²
=（2²-1²）+（4²-3²）+…+（16²-15²）-17²
=（1+2+3+4+…+15+16）-17²
=$\frac{（1+16）×16}{2}$-17²
=-153．
故答案为：-153．

点评 本题考查数列的求和，求得数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}的公差为1及a_n=n²是关键，考查等价转化思想、函数与方程思想，考查分组求和与等差数列、等比数列的通项公式，属于中档题．