题目内容

19．定义在R上的可导函数f（x）满足f（x）-f（-x）=2x3，当x∈（-∞，0]时f'（x）＜3x2，实数a满足f（1-a）-f（a）≥-2a3+3a2-3a+1，则a的取值范围是（　　）
A．$[{\frac{3}{2}，+∞}）$B．$（{-∞，\frac{3}{2}}]$C．$[{\frac{1}{2}，+∞}）$D．$（{-∞，\frac{1}{2}}]$

分析 令g（x）=f（x）-x3，由g（-x）=g（x），可得函数g（x）为偶函数．利用导数可得函数g（x）在（-∞，0）递减，在（0，+∞）递增，f（1-a）-f（a）≥-2a3+3a2-3a+1，即g（1-a）≥g（a），可得|1-a|≥|a|，由此解得a的范围

解答 解：令g（x）=f（x）-x3，
则g（-x）=f（-x）-x3，
则g（x）-g（-x）=f（x）-f（-x）-2x3=0，得g（x）为R上的偶函数，
∵x＜0时，g'（x）=f'（x）-3x2＜0，故g（x）在（-∞，0）单调递减，
再结合g（x）为偶函数，知g（x）在（0，+∞）单调递增，
又g（1-a）-g（a）=f（1-a）-（1-a）3-（f（a）-a3）=f（1-a）-f（a）+2a3-3a2+3a-1=0，
则g（1-a）≥g（a）等价于|1-a|≥|，解得a≤$\frac{1}{2}$，即a∈（-∞，$\frac{1}{2}$]．
故选：D．

点评 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．

练习册系列答案
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7．过点O（1，0）作函数f（x）=ex的切线，则切线方程为（　　）
A．y=e2（x-1）B．y=e（x-1）C．y=e2（x-1）或y=e（x-1）D．y=x-1
14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，求数列{an}的通项公式．勤于思考的小红设计了下面两种解题思路，请你选择其中一种并将其补充完整．
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然后用数学归纳法证明．证明过程如下：
①当n=1时，a1=21-1，猜想成立
②假设n=k（k∈N*）时，猜想成立，即ak=2k-1．
那么，当n=k+1时，由已知Sn=2an-n，得Sk+1=2ak+1-（k+1）．
又Sk=2ak-k，两式相减并化简，得ak+1=2k+1-1（用含k的代数式表示）．
所以，当n=k+1时，猜想也成立．
根据①和②，可知猜想对任何k∈N*都成立．
思路2：先设n的值为1，根据已知条件，计算出a1=1．
由已知Sn=2an-n，写出Sn+1与an+1的关系式：Sn+1=2an+1-（n+1），
两式相减，得an+1与an的递推关系式：an+1=2an+1．
整理：an+1+1=2（an+1）．
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得出：数列{an+1}的通项公式an+1=2n，进而得到an=2n-1．
4．已知函数f（x）=ksin（2x+$\frac{π}{6}$）的图象过点（π，1）．
（1）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{3}$]，求函数g（x）=$\frac{1}{2}$f2（x）-f（x+$\frac{π}{4}$）-1的值域．
11．i是虚数单位，复数$\frac{1+3i}{1-i}$=-1+2i．
8．数列{an}满足a1=1，${a_n}•{a_{n+1}}={2^{n-1}}$，其前n项和为Sn，则
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（2）S2n=2n+1-2．
15．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．
①cos211°+sin241°-cos11°sin41°；
②cos222°+sin252°-cos22°sin52°；
③cos230°+sin260°-cos30°sin60°；
④cos244°+sin244°-cos44°sin74°；
⑤cos255°+sin285°-cos55°sin85°．
将该同学的发现推广三角恒等式为cos2α+sin2（α+30°）-cosαsin（α+30°）=$\frac{3}{4}$．

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