Question

已知命题p：k²-8k-20≤0，命题q：方程

x2

4-k

+

y2

1-k

=1表示焦点在x轴上的双曲线．
（Ⅰ）命题q为真命题，求实数k的取值范围；
（Ⅱ）若命题“p∨q”为真，命题“p∧q”为假，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,复合命题的真假

专题：计算题,简易逻辑

分析：（Ⅰ）命题q为真命题，由已知得

4-k＞0 1-k＜0

，可求实数k的取值范围；
（Ⅱ）根据题意得命题p、q有且仅有一个为真命题，分别讨论“p真q假”与“p假q真”即可得出实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当命题q为真时，由已知得

4-k＞0 1-k＜0

，解得1＜k＜4
∴当命题q为真命题时，实数k的取值范围是1＜k＜4…（5分）
（Ⅱ）当命题p为真时，由k²-8k-20≤0解得-2≤k≤10…（7分）
由题意得命题p、q中有一真命题、有一假命题        …（8分）
当命题p为真、命题q为假时，则

-2≤k≤10 k≤1或k≥4

，
解得-2≤k≤1或4≤k≤10．…（10分）
当命题p为假、命题q为真时，则

k＜-2或k＞10 1＜k＜4

，k无解．…（12分）
∴实数k的取值范围是-2≤k≤1或4≤k≤10．…（13分）

点评：本题考查了命题真假的判断与应用，属于中档题，解题时注意分类讨论思想的应用．