Question

已知向量

m

=（sinωx，1），

n

=（4cos（ωx-

π

6

），cos2ωx）其中f（x）=

m

•

n

（ω＞0），函数最小正周期为π，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间．
（2）在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b²=ac，且a²-c²=ac-bc，求的f（A）值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，根据最小正周期求出ω的值，确定出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性即可确定出递增区间；
（2）将已知第一个等式代入第二个等式中得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，将得出的关系式代入求出cosA的值，确定出A的度数，即可求出f（A）的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（sinωx，1），

n

=（4cos（ωx-

π

6

），cos2ωx），
∴f（x）=

m

•

n

（ω＞0）=4sinωxcos（ωx-

π

6

）+cos2ωx=4sinωx（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）+cos2ωx=

3

sin2ωx+1-cos2ωx+cos2ωx=

3

sin2ωx+1，
∵函数最小正周期为π，∴ω=2，
∴f（x）=

3

sin4x+1，
令-

π

2

+2kπ≤4x≤

π

2

+2kπ（k∈Z），得到-

π

8

+

kπ

2

≤x≤

π

8

+

kπ

2

（k∈Z），
则f（x）的单调递增区间为[-

π

8

+

kπ

2

，

π

8

+

kπ

2

]（k∈Z）；
（2）∵b²=ac，且a²-c²=ac-bc，
∴b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
∴A=

π

3

，
则f（A）=f（

π

3

）=

3

sin

4π

3

+1=-

3

×

3

2

+1=-

1

2

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．