Question

如图，已知平面内一动点A到两个定点F₁、F₂的距离之和为4，线段F₁F₂的长为2

3

．
（1）求动点A的轨迹Γ的方程；
（2）过点F₁作直线l与轨迹Γ交于A、C两点，且点A在线段F₁F₂的上方，线段AC的垂直平分线为m．
①求△AF₁F₂的面积的最大值；
②轨迹Γ上是否存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据平面内一动点A到两个定点F₁、F₂的距离之和为4，线段F₁F₂的长为2

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，可得轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，建立平面直角坐标系，可得动点A的轨迹Γ的方程；
（2）①当A在椭圆与y轴相交的地方，△AF₁F₂的高最大，面积最大，即可求△AF₁F₂的面积的最大值；
②当AC⊥F₁F₂时，存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，证明AC与F₁F₂不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称即可．

解答： 解：（1）因为4＞2

3

，所以轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，
以线段F₁F₂的中点为坐标原点，以F₁F₂所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
可得动点A的轨迹Γ的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）①由题意，|F₁F₂|=2

3

，当A在椭圆与y轴相交的地方，△AF₁F₂的高最大，面积最大，
∴△AF₁F₂的面积的最大值为

1

2

•2

3

•1=

3

；
②当AC⊥F₁F₂时，存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称，
下面证明AC与F₁F₂不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称．
假设存在这样的两个不同的点S（x₃，y₃），T（x₄，y₄），
设ST的中点为H（m，n），则k_OH•k_ST=-

1

4

，k_OMk_AC=-

1

4

，
∴k_OH=k_OM=-

1

4k

，
∴直线m过原点，斜率为-

1

4k

≠-

1

k

∴假设不成立，
∴AC与F₁F₂不垂直时，不存在除A、C外的两点S、T关于直线m对称．

点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．