Question

13．在直角坐标系xOy中，已知直线l₁：y=tanα•x（0≤a＜π，α$≠\frac{π}{2}$），抛物线C：$\left\{\begin{array}{l}{x={t}^{2}}\\{y=-2t}\end{array}\right.$（t为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
（Ⅰ）求直线l₁和抛物线C的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l₁和抛物线C相交于点A（异于原点O），过原点作与l₁垂直的直线l₂，l₂和抛物线C相交于点B（异于原点O），求△OAB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l₁是过原点且倾斜角为α 的直线，抛物线C的普通方程为y²=4x，由此能求出直线l₁和抛物线C的极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l₁和抛物线C有两个交点知α≠0，把θ=α代入ρsin²θ=4cosθ，得ρ_A=$\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}$，直线l₂的极坐标方程为$θ=α+\frac{π}{2}$，（ρ∈R），代入ρsin²θ=4cosθ，求出ρ_B=-$\frac{4sinα}{co{s}^{2}α}$，由此能求出△OAB的面积的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l₁：y=tanα•x（0≤a＜π，α$≠\frac{π}{2}$），
∴直线l₁是过原点且倾斜角为α 的直线，
其极坐标方程为θ=α（$α≠\frac{π}{2}$），（2分）
抛物线C的普通方程为y²=4x，（3分）
其极坐标方程为（ρsinθ）²=4ρcosθ，
化简得ρsin²θ=4cosθ．（5分）
（Ⅱ）由直线l₁和抛物线C有两个交点知α≠0，
把θ=α代入ρsin²θ=4cosθ，得ρ_A=$\frac{4cosα}{si{n}^{2}α}$，（6分）
可知直线l₂的极坐标方程为$θ=α+\frac{π}{2}$，（ρ∈R），（7分）
代入ρsin²θ=4cosθ，得ρ_Bcos²α=-4sinα，
所以ρ_B=-$\frac{4sinα}{co{s}^{2}α}$，（8分）
${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|=\frac{1}{2}|{ρ}_{A}|•|{ρ}_{B}|$=$\frac{16}{|2sinαcosα|}$=$\frac{16}{|sin2α|}$≥16，
∴△OAB的面积的最小值为16．（10分）

点评 本题考查抛物线、直线方程、极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、三角形面积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．