Question

8．在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为150°，|$\overrightarrow{AC}$|=2，则|$\overrightarrow{AB}$|的取值范围是（0，4]．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为150°，|可得∠B=30°．由正弦定理可得：$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}$=$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sin3{0}^{°}}$=4，可得$|\overrightarrow{AB}|$=4sinC，利用0＜C＜150^°，即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$的夹角为150°，|可得∠B=30°．
由正弦定理可得：$\frac{|\overrightarrow{AB}|}{sinC}$=$\frac{|\overrightarrow{AC}|}{sin3{0}^{°}}$=4，可得$|\overrightarrow{AB}|$=4sinC，
又0＜C＜150^°，可得：$0＜|\overrightarrow{AB}|≤4$．
故答案为：（0，4]．

点评 本题考查了正弦定理、向量夹角、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．