Question

13．（1）已知数列{a_n}的各项均为正数，${b_n}=n{（{1+\frac{1}{n}}）^n}•{a_n}（{n∈{N_+}}）$，计算$\frac{b_1}{a_1}$，$\frac{{{b_1}{b_2}}}{{{a_1}{a_2}}}$，$\frac{{{b_1}{b_2}{b_3}}}{{{a_1}{a_2}{a_3}}}$，由此推测计算$\frac{{{b_1}{b_2}…{b_n}}}{{{a_1}{a_2}…{a_n}}}$的公式，并给出证明．
（2）求证：$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…$\frac{1}{3n}$＞$\frac{5}{6}$（n≥2，n∈N^*）

Answer 1

分析 （1）检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
（2）检验n=2时不等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 （1）证明：∵$\frac{b_1}{a_1}=1×{（{1+\frac{1}{1}}）^1}=1+1=2$；
$\frac{{{b_1}{b_2}}}{{{a_1}{a_2}}}=\frac{b_1}{a_1}•\frac{b_2}{a_2}=2×2×{（{1+\frac{1}{2}}）^2}={（{2+1}）^2}={3^2}$；
$\frac{{{b_1}{b_2}{b_3}}}{{{a_1}{a_2}{a_3}}}=\frac{{{b_1}{b_2}}}{{{a_1}{a_2}}}•\frac{b_3}{a_3}={3^2}×3×{（{1+\frac{1}{3}}）^3}={（{3+1}）^3}={4^3}$．
由此推测：$\frac{{{b_1}{b_2}…{b_n}}}{{{a_1}{a_2}…{a_n}}}={（{n+1}）^n}$．（*）
下面用数学归纳法证明（*）式．
（ i）当n=1时，左边=右边=2，（*）式成立．
（ ii）假设当n=k（k∈N₊）时（*）式成立，即 $\frac{{{b_1}{b_2}…{b_k}}}{{{a_1}{a_2}…{a_k}}}={（{k+1}）^k}$．
那么当n=k+1时，${b_{k+1}}=（{k+1}）{（1+\frac{1}{k+1}）^{k+1}}{a_{k+1}}$，
由归纳假设可得
$\frac{{{b_1}{b_2}…{b_k}{b_{k+1}}}}{{{a_1}{a_2}…{a_k}{a_{k+1}}}}=\frac{{{b_1}{b_2}…{b_k}}}{{{a_1}{a_2}…{a_k}}}•\frac{{{b_{k+1}}}}{{{a_{k+1}}}}={（{k+1}）^k}（{k+1}）•{（{1+\frac{1}{k+1}}）^{k+1}}={（{k+2}）^{k+1}}$．
∴当n=k+1时，（*）式也成立．
根据（i），（ii），可知（*）式对一切正整数n∈N₊都成立．
（2）证明：①当n=2时，左边=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{6}$＞$\frac{5}{6}$不等式成立．
 ②假设当n=k（k≥2，k∈N^*）时不等式成立，即 $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+…+\frac{1}{3k}＞\frac{5}{6}$．
则当n=k+1时，$\frac{1}{{（{k+1}）+1}}+\frac{1}{{（{k+1}）+2}}+…+\frac{1}{3k}+\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{{3（{k+1}）}}$，
=$\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+…+\frac{1}{3k}+（{\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}-\frac{1}{k+1}}）$，
$＞\frac{5}{6}+（{\frac{1}{3k+1}+\frac{1}{3k+2}+\frac{1}{3k+3}-\frac{1}{k+1}}）$，
＞$\frac{5}{6}$+（3×$\frac{1}{3k+3}$-$\frac{1}{k+1}$）=$\frac{5}{6}$
由①②可得$\frac{1}{n+1}$+$\frac{1}{n+2}$+…$\frac{1}{3n}$＞$\frac{5}{6}$（n≥2，n∈N^*）成立．

点评 本题考查数列的递推公式，用数学归纳法证明等式成立．证明当n=k+1时命题也成立，是解题的难点．