Question

6．已知函数f（x）=lg$\frac{2x}{ax+b}$，f（1）=0，且f（2）-f（$\frac{1}{2}$）=lg2．
（1）求f（x）的表达式；
（2）若x∈（0，+∞）时方程f（x）=lgt有解，求实数t的取值范围；
（3）若函数y=f（x）-lg（8x+m）的无零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由已知中函数，以构造一个关于a，b方程组，解方程组求出a，b值，进而得到f（x）的表达式；
（2）由（1）中函数f（x）的表达式，转化为一个方程，分离参数，根据f（x）的定义域即可求出；
（3）根据对数的运算性质，可将方程f（x）=lg（8x+m），转化为一个关于x的分式方程组，进而根据方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，则方程组至少一个方程无解，或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案．

解答 解：（1）∵且f（2）-f（$\frac{1}{2}$）=lg2，即x＞0时，f（x）-f（$\frac{1}{x}$）=lgx．
lg $\frac{2x}{ax+b}$-lg $\frac{\frac{2}{x}}{\frac{a}{x}+b}$=lgx，
即lg-lg=lgx，
即lg（ $\frac{2x}{ax+b}$•$\frac{a+bx}{2}$）=lgx，$\frac{2x}{ax+b}$•$\frac{a+bx}{2}$=x．
整理得（a-b）x²-（a-b）x=0恒成立，
∴a=b，
又f（1）=0，
即a+b=2，从而a=b=1．
∴f（x）=lg $\frac{2x}{x+1}$，
∵$\frac{2x}{x+1}$＞0，
∴x＜-1，或x＞0，
∴f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（0，+∞）
（2）方程f（x）=lgt有解，
即lg $\frac{2x}{x+1}$=lgt，
∴t=$\frac{2x}{x=1}$，
∴x（2-t）=t，
∴x=$\frac{t}{2-t}$，
∴$\frac{t}{2-t}$＜-1，或 $\frac{t}{2-t}$＞0，
解得t＞2，或0＜t＜2，
∴实数t的取值范围（0，2）∪（2，+∞），
（3）函数y=f（x）-lg（8x+m）的无零点即方程f（x）=lg（8x+m）的解集为∅，
∴lg $\frac{2x}{x+1}$=lg（8x+m），
∴$\frac{2x}{x+1}$=8x+m，
∴8x²+（6+m）x+m=0，
方程的解集为∅，故有两种情况：
①方程8x²+（6+m）x+m=0无解，即△＜0，得2＜m＜18，
②方程8x²+（6+m）x+m=0有解，两根均在[-1，0]内，g（x）=8x²+（6+m）x+m，
则 $\left\{\begin{array}{l}{△≥0}\\{g（-1）≥0}\\{g（0）≥0}\\{-1≤\frac{-6-m}{16}≤0}\end{array}\right.$，解得：0≤m≤2，
综合①②得实数m的取值范围是0≤m＜18．

点评 本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，及对数函数单调性的综合应用，属于中档题．