Question

力综合治理交通拥堵状况，缓解机动车过快增长势头，一些大城市出台了“机动车摇号上牌”的新规．某大城市2014年初机动车的保有量为600万辆，预计此后每年将报废本年度机动车保有量的5%，且报废后机动车的牌照不再使用，同时每年投放10万辆的机动车牌号，只有摇号获得指标的机动车才能上牌，经调研，获得摇号指标的市民通常都会在当年购买机动车上牌．
（Ⅰ）问：到2018年初，该城市的机动车保有量为多少万辆；
（Ⅱ）根据该城市交通建设规划要求，预计机动车的保有量少于500万辆时，该城市交通拥堵状况才真正得到缓解．问：至少需要多少年可以实现这一目标．（参考数据：0.95⁴=0.81，0.95⁵=0.77，lg0.75=-0.13，lg0.95=-0.02）

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设2012年年初机动车保有量为a₁万辆，由已知条件推导出数列{a_n-200}是以400为首项，0.95为公比的等比数列，由此能求出2016年初机动车保有量．
（Ⅱ）由题意知，an=400•0.95n-1+200＜500，由此能求出至少需要8年时间才能实现目标．

解答： 解：（Ⅰ）设2012年年初机动车保有量为a₁万辆，
以后各年年初机动车保有量依次为a₂万辆，a₃万辆，…，每年新增机动车10万辆，
则a₁=600，a_n+1=0.95a₁+10，
又a_n+1-200=0.95（a_n-200），
且a₁-200=600-200=400，
∴数列{a_n-200}是以400为首项，0.95为公比的等比数列，
∴an-200=400•0.95n-1，即an=400•0.95n-1+200，
∴2018年初机动车保有量为a5=400•0.954+200=524万辆．
（Ⅱ）由题意知，an=400•0.95n-1+200＜500，
即0.95^n-1＜0.75，
∴n＞

lg0.75

lg0.95

+1=7.5．
故至少需要8年时间才能实现目标．

点评：本题考查数列与函数的综合运用，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的灵活运用．