Question

如图，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=

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AD，设点E是棱PB上的动点（不含端点），过点A，D，E的平面交棱PC于点F．
（1）求证：BC∥EF；
（2）求二面角A-PB-D的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据线面平行的性质定理，证明BC∥平面AEFD，即可证明BC∥EF；
（2）根据二面角平面角的定义，确定平面角，然后根据三角形的边角关系，即可求二面角A-PB-D的余弦值．

解答： 证明：（1）∵BC∥AD，
∴BC∥平面AEFD．
又∵BC?平面BCP，EF为平面ADE与平面BCP的交线，
∴BC∥EF．
（2）连结AC交BD于O，则AO⊥BD，AO⊥PD．
∴AO⊥平面PDB．作AM⊥PB于M，连结OM．
则∠AMO为二面角APBD的平面角．
设AD=1，则PD=

3

，PA=2．
AM=

PA•AB

PB

=

2

5

=

2 5

5

，AO=

2

2

．
∴sin∠AMO=

A0

AM

=

10

4

．
cos∠AMO=

1-( 10 4 )2

=

6

4

．

点评：本题主要考查空间直线平行的判断，以及空间二面角的大小求法，考查学生的运算能力．