Question

如图已知圆锥SO的底面半径为4，母线长为8，三角形SAB是圆锥的一个轴截面，D是SA上的一点，且SD=

8

3

3

．动点M从点B出发沿着圆锥的侧面运动到达点D，当其运动路程最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．将轴截面SAB绕着轴SO逆时针旋转θ（0＜θ＜π）后，母线SB₁与曲线Γ相交于点P．
（Ⅰ）若θ=

π

2

，证明：平面A₁B₁P⊥平面ABP；
（Ⅱ）若θ=

2π

3

，求二面角B₁-AB-P的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AB⊥A₁B₁，SO⊥AB，从而得到AB⊥平面SA₁B₁，由此能证明平面PAB⊥平面PA₁B₁．
（Ⅱ）以O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，OS所在直线为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B₁-AB-P的余弦值．

解答： 满分（14分）．
（Ⅰ）证明：∵θ=

π

2

，∴AB⊥A₁B₁．…（1分）
∵SO⊥平面B₁AB，∴SO⊥AB…（2分）
又∵SO∩A₁B₁=O，∴AB⊥平面SA₁B₁，…（4分）
又∵AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面SA₁B₁，…（6分）
又∵P∈平面SA₁B₁，
∴平面PAB⊥平面PA₁B₁．…（7分）
（Ⅱ）解：以O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，
OS所在直线为z轴建立如图（1）所示的空间直角坐标系，…（8分）
则A（-4，0，0），B（4，0，0），
将圆锥半侧面图展开，如图（2）所示，
由已知得∠ASB=

π

2

．  …（9分）
又∵θ=

2π

3

，∴∠ASB1=

π

6

．∵SD=

8 3

3

，SB=8，
∴∠SDP=

π

3

．∴∠SPD=

π

2

，
∴在Rt△SPD中，SP=SDsin

π

3

=4．
∴点P为SB₁的中点．…（10分）
如图（1）∵SO⊥面AB₁B，∴面SA₁B₁⊥面AB₁B，
过P作PQ⊥OB₁交OB₁于Q，则PQ⊥面AB₁B，
∴PQ∥SO∴PQ=

1

2

SO=

1

2

SB2-OB2

=2

3

OQ=

1

2

OB1=2，
∴P(-1，

3

，2

3

)．…（11分）
∴

AP

=(3，

3

，2

3

)，∴

AB

=(8，0，0)．
设平面ABP的法向量为

n1

=（x，y，z），
则

n1 • AP =0 n1 • AB =0

，∴

3x+ 3 y+2 3 z=0 8x=0

，
取y=-2，得：

n1

=（0，-2，1）…（12分）
取平面B₁AB的法向量为

n2

=（0，0，1）…（13分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

5

=

5

5

，
∴所求的二面角B₁-AB-P的余弦值为

5

5

．…（14分）

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，