Question

已知函数f（x）=x³-3x．
（1）若对于区间[-2，2]上任意的两个变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤C，求实数C的最小值．
（2）若过点（2，m）（m≠2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）由题意，对于区间[-2，2]上任意自变量都使得|f（x₁）-f（x₂）|≤c，可以转化为求函数在该区间内的最值即可得解．
（2）设切点，求出切线方程，过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，可得方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三个不同的实数解，即函数g（x）=2x³-6x²+6+m有三个不同的零点，从而可求实数m取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x³-3x，
求导得f′（x）=3x²-3，
∴f′（x）=0在[-2，2]上解为：x=±1，
f（-1）=2，f（1）=-2，f（-2）=-2，f（2）=2，
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-2，
∴要使对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，
故c的最小值为4．
（2））∵点M（2，m）（m≠2）不在曲线y=f（x）上，
∴设切点为（x₀，y₀），则y₀=x₀³-3x₀，
∵f′（x₀）=3x₀²-3，
∴切线的斜率为3x₀²-3，则3x₀²-3=

x03-3x0-m

x0-2

，
即2x₀³-6x₀²+6+m=0，
∵过点M（2，m）（m≠2），可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三个不同的实数解．
即函数g（x）=2x₀³-6x₀²+6+m有三个不同的零点，
则g′（x）=6x²-12x，令g′（x）=0，解得x=0或x=2，

x	（-∞，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

由题意可得g（0）＞0，且g（2）＜0，
∴6+m＞0，且m-2＜0，解得：-6＜m＜2，
∴所求实数m的取值范围是-6＜m＜2．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，以及极值，考查方程和函数的转化思想，极值的符号与零点的个数的关系，属于中档题．