题目内容
设函数f（x）=x3-3ax+b（a≠0），若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-3，3]上的极值．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）在区间[-3，3]上的极值．
考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：计算题,导数的综合应用
分析：（1）求出导数，由题意可得f′（2）=0且f（2）=8，解方程即可；
（2）求出导数，令导数为0，解出方程，再求单调区间，从而确定极值，注意范围[-3，3]．
（2）求出导数，令导数为0，解出方程，再求单调区间，从而确定极值，注意范围[-3，3]．
解答：
解：（1）f′（x）=3x2-3a，?
因为曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，?
所以f′（2）=0且f（2）=8，即3（4-a）=0且8-6a+b=8，?
解得a=4，b=24．?
（2）由（1）知f（x）=x3-12x+24，且f′（x）=3x2-12，
令f′（x）=0，得x=±2，
当x∈[-3，-2），f′（x）＞0；当x∈（-2，-2），f′（x）＜0，当x∈（-2，-2），）f′（x）＞0．
∴当x=-2时，f（x）取极大值40；当x=2时，f（x）取极小值8．
因为曲线y=f（x）在点（2，f（2））处与直线y=8相切，?
所以f′（2）=0且f（2）=8，即3（4-a）=0且8-6a+b=8，?
解得a=4，b=24．?
（2）由（1）知f（x）=x3-12x+24，且f′（x）=3x2-12，
令f′（x）=0，得x=±2，
当x∈[-3，-2），f′（x）＞0；当x∈（-2，-2），f′（x）＜0，当x∈（-2，-2），）f′（x）＞0．
∴当x=-2时，f（x）取极大值40；当x=2时，f（x）取极小值8．
点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值，考查运算能力，属于基础题．
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