Question

设函数f（x）=alnx+x²+bx（a，b∈R，a≠0，且x=1为f（x）的极值点．
（1）当a=1时，求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）=0恰有两解，试求实数a的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设g（x）=f（x+1）-x²+x+2，证明：

n

k=1

1

g(k)

＞

3n2+5n

(n+1)(n+2)

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）求导数，利用x=1为f（x）的极值点，可得a+b+2=0，当a=1时，利用导数小于0，可求f（x）的单调递减区间；
（2）分类讨论，结合f（x）=0恰有两解，求实数a的取值范围；
（3）当a=1时，g（x）=ln（x+1），即证：

n

k=1

1

ln(k+1)

＞

3n2+5n

(n+1)(n+2)

．先证明：当x≤2时，lnx＜

1

4

（x²-1），可得

1

lnx

＞

4

(x-1)(x+1)

=2（

1

x-1

-

1

x+1

）．令x=k+1，得

1

ln(k+1)

＞2（

1

k

-

1

k+2

），叠加，即可证明结论．

解答： 解：由已知求导得：f′（x）=

a

x

+2x+b，
∵x=1为f（x）的极值点，∴f′（1）=0，∴a+b+2=0．…2分
（1）当a=1时，b=-3，
进而f′（x）=

(2x-1)(x-1)

x

，
∵函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∴f（x）的单调减区间为（

1

2

，1）． …4分
（2）由a+b+2=0，得b=-a-2，则f（x）=alnx+x²-（a+2）x，（x＞0），
f′（x）=

(2x-a)(x-1)

x

，（x＞0），
（ⅰ）当a＜0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，则f（x）的极小值为f（1），
∵lnx≤x-1，∴f（x）≥x²-2x-a，
则当x→+∞时，f（x）→+∞，
又∵当x→0⁺时，f（x）→+∞，∴要使f（x）=0恰有两解，须f（1）＜0，即a＞-1．
因此，当-1＜a＜0时，f（x）=0恰有两解．
（ⅱ）当0＜a＜2时，f（x）在（0，

a

2

）、（1，+∞）递增，在（

a

2

，1）递减，
则f（x）的极大值为f（

a

2

），f（x）的极小值为f（1）．
∵f（

a

2

）=aln

a

2

+

a2

4

-（

a2

2

+a）≤a（

a

2

-1）+

a2

4

-（

a2

2

+a）=

a

4

（a-8），
∴当0＜a＜2时，f（

a

2

）＜0，此时f（x）=0不可能恰有两解．
（ⅲ）当a＞2时，f（x）在（0，1）、（

a

2

，+∞）递增，在（1，

a

2

）递减，
则f（x）的极大值为f（1），f（x）的极小值为f（

a

2

）．
∵f（1）=-a-1＜0，∴当a＞2时，f（x）=0不可能恰有两解．
（ⅳ）当a=2时，f（x）在（0，+∞）单调递增，f（x）=0不可能恰有两解．
综合可得，若f（x）=0恰有两解，则实数a的取值范围是-1＜a＜0．…9分
（3）当a=1时，g（x）=ln（x+1），
即证：

n

k=1

1

ln(k+1)

＞

3n2+5n

(n+1)(n+2)

．
由于

3n2+5n

(n+1)(n+2)

=2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=2

n

k=1

（

1

k

-

1

k+2

）． 
所以原题转化为证明：：

n

k=1

1

ln(k+1)

＞2

n

k=1

（

1

k

-

1

k+2

），也就是证明

1

ln(k+1)

＞2（

1

k

-

1

k+2

），设k+1=x，进一步转化为证明

1

lnx

＞2（

1

x-1

-

1

x+1

）=

4

(x-1)(x+1)

，
即证明lnx＜

1

4

（x²-1）．
因此先证明：当x≥2时，lnx＜

1

4

（x²-1）．
设h（x）=lnx-

1

4

（x²-1），h′（x）=

2-x2

2x

，
当x≥2时，h′（x）＜0，则h（x）在（2，+∞）递减，h（x）≤h（2），
∵e³＞16，∴3＞ln16=4ln2，即ln2＜

3

4

，
∴h（2）=ln2-

3

4

＜0，∴h（x）＜0，即lnx＜

1

4

（x²-1）．
∴

1

lnx

＞

4

(x-1)(x+1)

=2（

1

x-1

-

1

x+1

）．
令x=k+1，得

1

ln(k+1)

＞2（

1

k

-

1

k+2

），
则

n

k=1

1

ln(k+1)

＞2

n

k=1

（

1

k

-

1

k+2

）=2（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

3n2+5n

(n+1)(n+2)

． …14分

点评：本题考查导数在最大值、最小值问题中的应用，考查利用导数研究函数的极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．