Question

三内角为A、B、C，已知

OM

=（sinB+cosB，cosC），

ON

=（sinC，sinB-cosB），

OM

•

ON

=-

1

5

．
（1）求tan2A的值；   
（2）求

2cos2 A 2 -3sinA-1

2 sin(A+ π 4 )

．

Answer 1

考点：二倍角的正切,平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,二倍角的余弦

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用

OM

•

ON

=-

1

5

，将相应的值代入，然后利用[sin（B+C）]²+[cos（B+c）]²=1，得出sin（B+C）和cos（B+C）的值，进而可知sinA和sinB的值，即可得出结果；
（2）利用二倍角余弦公式和两角和与差公式化简所求的式子，然后将sinA和sinB的值代入即可．

解答： 解：（1）

OM

•

ON

=（sinB+cosB）（sinC）+（cosC）（sinB-cosB）
=sinBsinC+cosBsinC+cosCsinB-cosCcosB
=-cosCcosB+sinBsinC+cosBsinC+cosCsinB
=-cos（B+C）+sin（B+C）=-

1

5

又[sin（B+C）]²+[cos（B+c）]²=1
解得sin（B+C）=

3

5

cos（B+C）=

4

5

sinA=sin（180-A）=sin（B+C）=

3

5

cosA=-cos（180-A）=-cos（B+C）=-

4

5

tanA═-

3

4

tan2A=

2tanA

1-tan2A

=-

24

7

（2）原式=

cosA-3sinA

sinA+cosA

=

- 4 5 -3× 3 5

3 5 - 4 5

=13．

点评：本题主要考查的是二倍角余弦公式和两角和与差公式，熟记公式是解题的关键．