Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱与底面垂直，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=2，M，N分别是AB，A₁C的中点．
（1）求证：BC⊥平面BB₁A₁A；
（2）求证：MN∥平面BCC₁B₁．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）结合AB⊥BC，又因为平面BB₁C₁C⊥平面BB₁A₁A，可知BC⊥平面BB₁A₁A；
（2）欲证MN∥平面BCC₁B₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面BCC₁B₁内一直线平行即可，而连接BC₁，AC₁．根据中位线定理可知MN∥BC₁，又MN?平面BCC₁B₁满足定理所需条件．

解答： 证明：（1）∵∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵平面BB₁C₁C⊥平面BB₁A₁A，
∴BC⊥平面BB₁A₁A．
（2）证明：连接BC₁，AC₁．
在△ABC₁中，∵M，N是AB，A₁C的中点，∴MN∥BC₁．
又∵MN?平面BCC₁B₁，
∴MN∥平面BCC₁B₁．

点评：本题重点考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定等知识，属于中档题．判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α⇒?a∥β）．