Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，AB=3，BC=BE=7，△DCE是边长为6的正三角形．
（1）求证：平面DEC⊥平面BDE；
（2）求点A到平面BDE的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,平面与平面垂直的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）取DE的中点，连接CH，BH，由等边三角形CDE，可得，CH⊥DE，再通过计算，运用勾股定理的逆定理，得到CH⊥BH，再由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可得证；
（2）设点A到平面BDE的距离为d，E到平面ABCD的距离为m，由于V_A-BDE=V_E-ABD，V_E-BCD=V_C-EBD=

1

3

CH•S_△BDE，运用三棱锥的体积公式，计算即可得到m，d．

解答： （1）证明：取DE的中点，连接CH，BH，
则由等边三角形CDE，可得，CH⊥DE，
CH=

3

2

×6=3

3

，BD=

22+32

=

13

，
由于BE=7，DE=6，BD=

13

，有BD²+DE²=BE²，
即有BD⊥DE，
即有BH=

( 13 )2+32

=

22

，再由BH²+CH²=CB²，
则CH⊥BH，又CH⊥DE，DE，BH为平面BDE中两条相交直线，
则CH⊥平面BDE，且CH?平面CDE，
则平面DEC⊥平面BDE；
（2）解：设点A到平面BDE的距离为d，E到平面ABCD的距离为m，
由于V_A-BDE=V_E-ABD，
V_E-BCD=V_C-EBD=

1

3

CH•S_△BDE=

1

3

•3

3

•

1

2

•6

13

=3

39

，
又V_E-BCD=

1

3

•m•

1

2

•3•7=3

39

，
则m=

6 39

7

．
V_E-ABD=

1

3

m•

1

2

•3•2=m，V_A-BDE=

1

3

d•

1

2

•6•

13

则

13

d=

6 39

7

，则d=

6 3

7

．

点评：本题考查面面垂直的判定，考查点到平面的距离的求法，注意运用等积法，考查运算能力，属于中档题．