Question

已知集合M={（x₁，y₁）|y=f（x）}，若?（x₁，y₁）∈M，?（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“Γ”集．给出下列四个集合：
①M={（x，y）|y=x+

1

x

}；      
②M={（x，y）|y=cosx}；
③M={（x，y）|y=ln（x+2）}      
④M={（x，y）|y=3^x}．
其中是“Γ”集的编号是

 

．（写出所有是“Γ”集的编号）

Answer 1

考点：函数的图象

专题：新定义,数形结合,函数的性质及应用

分析：本题定义了一个新集合，考查的知识点是借助函数图象性质考查集合的概念，属于元素与集合关系的判断．要证明结论正确，对A（x₁，y₁）∈M，只要存在B（x₁，x₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，只要

OA

⊥

OB

即可．要说明结论正确，需要证明，否则，举个反例即可．
对于①根据函数图象，图象夹在两条渐近线x=0和y=x之间，即可判断结论不准确．
对于②，画出图象，说明满足“Γ”集合的定义，即可判断正确；
对于③画出函数图象，说明满足“Γ”集合的定义，即可判断正误；
对于④取点A（0，1），不存在点B使得

OA

⊥

OB

，结论不正确．

解答： 解：对于①y=x+

1

x

的图象是以y轴和直线y=x为渐近线的曲线，渐近线的夹角为45°，如图（1）

在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，满足“Γ”集合的定义；
对任意（x₁，y₁）∈M，在另一支上也不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，
即

OA

⊥

OB

的两点不存在，所以不满足Γ集合的定义，不是“Γ”集合．
对于②M={（x，y）|y=cosx}，如图（2），

对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，
使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，即

OA

⊥

OB

的两点总存在．例如M（0，1）、N（ x，0），∠MON=90°，满足Γ集合的定义，旋转90°，都能在图象上找到满足题意的点，所以M是Γ集合；
对于③M={（x，y）|y=ln（x+2）}，如图象（3），

可以看出，M是Γ集合，所以③正确                      
对于④M═{（x，y）|y=3^x}，如图（4），

可以证明不满足Γ集合的定义，如点A（0，1），则B（x，0）应在x轴上，可以证明正确．
故答案：②③

点评：本题考查Γ集合的定义，画出函数的图象，注意到对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查．