Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左右焦点分别为F₁，F₂，点O为坐标原点，点P在双曲线右支上，△PF₁F₂内切圆的圆心为Q，圆Q与x轴相切于点A，过F₂作直线PQ的垂线，垂足为B，则|OA|与|OB|的长度依次为（　　）

• A、a，a
• B、a，

  a2+b2

• C、

  a

  2

  ，

  3a

  2

• D、

  a

  2

  ，a

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用切线长定理，结合双曲线的定义，把|PF₁|-|PF₂|=2a，转化为|AF₁|-|AF₂|=2a，从而求得点A的横坐标．再在三角形PCF₂中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在△F₁CF₂中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．

解答： 解：根据题意得F₁（-c，0），F₂（c，0），
设△PF₁F₂的内切圆分别与PF₁，PF₂切于点A₁，B₁，与F₁F₂切于点A，
则|PA₁|=|PB₁|，|F₁A₁|=|F₁A|，
|F₂B₁|=|F₂A|，
又点P在双曲线右支上，
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，
∴|F₁A|-|F₂A|=2a，
而|F₁A|+|F₂A|=2c，
设A点坐标为（x，0），
则由|F₁A|-|F₂A|=2a，
得（x+c）-（c-x）=2a，
解得x=a，
∵|OA|=a，∴在△F₁CF₂中，
OB=

1

2

CF₁=

1

2

（PF₁-PC）
=

1

2

（PF₁-PF₂）=

1

2

×2a=a，
∴|OA|与|OB|的长度依次为a，a．
故选：A．

点评：本题考查两条线段长的求法，是中档题，解题时要熟练掌握双曲线简单性质的灵活运用．