Question

已知函数f（x）=（a+1）x²-2ax-2lnx．
（Ⅰ）求证：a=0时，f（x）≥1恒成立；
（Ⅱ）当a∈[-2，-1]时，求f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（I）将a=0代入，求出函数的导函数，进而分析出原函数的单调性，结合定义域，求出函数的最小值，即可得到结论；
（II）求出函数的导函数，分当a=-1时和当a＜-1时两大类情况，分析函数的单调性，进而综合讨论结果，可得f（x）的单调区间．

解答： 证明：（Ⅰ）a=0时，f（x）=x²-2lnx，x∈（0，+∞），
f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，
令f'（x）=0，
解得：x=1，x=-1（舍去）
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，1）上单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调递增．
∴f（x）_min=f（x）_极小值=f（1）=1
所以，?x∈（0，+∞），f（x）≥1．      …（5分）
（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=

2[(a+1)x2-ax-1]

x

①当a=-1时，f′(x)=

2(x-1)

x

，
此时f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减；
②当a＜-1时，f′(x)=

2(a+1)(x-1)(x+ 1 a+1 )

x

令f'（x）=0，解得：x=1 或x=-

1

a+1

，
ⅰ）当-2＜a＜-1时，1＜-

1

a+1

，
令f'（x）＞0，解得：1＜x＜-

1

a+1

令f'（x）＜0，解得：x＞-

1

a+1

或0＜x＜1，
此时f（x）在区间(1， -

1

a+1

)上单调递增，在（0，1）和(-

1

a+1

， +∞)上单调递减；
ⅱ）当a=-2时，1=-

1

a+1

，
此时f′(x)=

-2(x-1)2

x

≤0，f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
综上，a=-1时，f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
-2＜a＜-1时，f（x）的单调递增区间为(1， -

1

a+1

)，单调递减区间为（0，1）和(-

1

a+1

， +∞)；
a=-2时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调增区间．       …（13分）

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数恒成立问题，导数法分析函数的单调性，熟练掌握二次函数的性质，及导数法分析函数的单调性步骤，是解答的关键．