Question

若函数f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ） （ω＞0，0＜φ＜2π），满足f（x+

π

3

）=f（x-

π

3

），且部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）若α∈（π，2π），且f（

α

3

+

π

12

）+f（

α

3

-

π

12

）=-1，求cosα的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得f（x）解析式．
（Ⅱ）根据条件，利用三角恒等变换求出sin（α-

π

4

）=

1

2

，可得α=

5π

6

+

π

4

，从而求得cosα的值．

解答： 解：（ I ）依题设f（x+

π

3

）=f（x-

π

3

）知：f（x+

2π

3

）=f（x），可得f（x）的周期T=

2π

3

，故ω=3．
故f（x）=sin（3x+φ）-cos（3x+φ）=

2

sin（3x+φ-

π

4

）．
又点（

π

12

，0）在其图象上，可得

2

sinφ=0，求得sinφ=0，
又0＜φ＜2π，可得φ=π，故f（x）=-

2

sin（3x-

π

4

）为所求．
（ II ）依题设及（ I ）知：f（

α

3

+

π

12

）+f（

α

3

-

π

12

）=-

2

sinα-

2

sin（α-

π

2

）=-1．
整理得：

2

sinα-

2

cosα=1，求出sin（α-

π

4

）=

1

2

．
又依题设：α∈（π，2π），可得α-

π

4

=

5π

6

，求得α=

5π

6

+

π

4

．
故cosα=cos（

5π

6

+

π

4

）=-

6 + 2

4

为所求．

点评：本题主要考查三角恒等变换，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，属于基础题．