题目内容

已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次为a，b，c，若cosA=
3
4
，cosC=
1
8
．
（Ⅰ）求cos B的值；    
（Ⅱ）若|
AC
+
BC
|=
46
，求BC边上中线的长．
考点：两角和与差的余弦函数,同角三角函数间的基本关系
专题：计算题,解三角形
分析：（Ⅰ）A，C为三角形内角，先求出sinA，sinC，由cosB=cos[π-（A+C）]展开即可求出cos B的值；
（Ⅱ）先求出sinB，由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，再由余弦定理可求BC边上中线的长．
解答： 解：（ I ）依题设：sinA=
1-cos2A
=
1-(
3
4
)2
=
7
4
，
sinC=
1-cos2C
=
1-(
1
8
)2
=
3
7
8
，
故cosB=cos[π-（A+C）]
=-cos （A+C）
=-（cosAcosC+sinAsinC）
=-（
3
32
-
21
32
）
=
9
16
．
（ II ） 由（ I ）知：sinB=
1-cos2B
=
1-(
9
16
)2
=
5
7
16
，再由正弦定理易得：
a
4
=
b
5
=
c
6
，
不妨设：a=4k，b=5k，c=6k，k＞0．故知：|
AC
|=b=5k，|
BC
|=a=4k．
依题设知：|
AC
|2+|
BC
|2+2|
AC
||
BC
|cosC=46⇒46k2=46，又k＞0⇒k=1．
故△ABC的三条边长依次为：a=4，b=5，c=6．
若设BC的中点为D，由余弦定理得：AD2=62+22-2×6×2cosB=40-2×6×2×
9
16
=
53
2
．
故BC边上的中线长为：
106
2
．
【注】本小题还可通过求|
AB
+
AC
|来解答．
点评：本题主要考察了两角和与差的余弦函数，同角三角函数间的基本关系，正弦定理余弦定理的综合应用，考察学生的计算能力，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
若集合M={y|y=2x}，N={y|y=logx}，则M∩N=（　　）
A、{x|x＞1}
B、{y|y≥1}
C、{x|x＞0}
D、{y|y≥0}
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2c-b）cosA=acosB．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4，求△ABC的面积的最大值．
已知△ABC内部的一点O，恰使
OA
+2
OB
+3
OC
=
0
，则△OAB，△OAC，△OBC的面积之比为
 
．（结果须化为最简）
已知数列{an}的前n项和sn，点（n，sn）（n∈N*）在函数y=
1
2
x2+
1
2
x的图象上
（1）求{an}的通项公式
（2）设数列{
1
anan+2
}的前n项和为Tn，不等式Tn＞
1
3
loga（1-a）对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．
若函数f（x）=sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ） （ω＞0，0＜φ＜2π），满足f（x+
π
3
）=f（x-
π
3
），且部分图象如图所示．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）若α∈（π，2π），且f（
α
3
+
π
12
）+f（
α
3
-
π
12
）=-1，求cosα的值．
max{a，b}=
a，a≥b
b，a＜b
，f（x）=max{|x+1|，|x-2|}，若关于x的方程f（x）=m有解，则m的范围
 
．
对某400件元件进行寿命追踪调查情况频率分布如下：
寿命（h）频率
[500，600）0.10
[600，700）0.15
[700，800）0.40
[800，900）0.20
[900，1000]0.15
合计1
（1）列出寿命与频数对应表；
（2）估计元件寿命在[500，800）内的频率；
（3）估计元件寿命在700h以上的频率．
已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是
 
．

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