Question

如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为AB边上不与端点重合的动点，且CM与DA分别延长后交于点N，若以菱形的对角线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，并设BM=2t （0＜t＜1）．
（Ⅰ）试用t表示

DM

与

BN

，并求它们所成角的大小；
（Ⅱ）设f（t）=

DM

•

BN

，g（t）=at+4-2a（a＞0），分别根据以下条件，求出实数a的取值范围：
①存在t₁，t₂∈（0，1），使得

2

f(t1)

=g（t₂）；
②对任意t₁∈（0，1），恒存在t₂∈（0，1），使得

2

f(t1)

=g（t₂）．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：（I）过点M作坐标轴的垂线段，由菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，M为AB边上不与端点重合的动点，BM=2t，可得M点的坐标，进而可得向量

DM

的坐标，由△BCM∽△ANM，可得AN的长，进而得到N点坐标，可得向量

BN

的坐标，结合向量夹角公式，可得他们的夹角；
（II）由（I）可得f（t）的解析式，分别求出两个函数的值域A，B；
①若存在t₁，t₂∈（0，1），使得

2

f(t1)

=g（t₂） 成立，则只要两函数的值域A=（0，1）与B=（4-2a，4-a）存在公共元素即可，
②对任意t₁∈（0，1），恒存在t₂∈（0，1），使得

2

f(t1)

=g（t₂）成立，则t∈（0，1）时，函数y=g（t）必取遍函数y=

2

f(t)

值域A=（0，1）中的所有值，此即A⊆B．

解答： 解：（ I ） 过点M作坐标轴的垂线段，
则依题设易求得M点的坐标为：M（

3

t，1-t ），即

OM

=（

3

t，1-t ），…（1）
依题设知：△ABD为正三角形，故

OD

=（0，-1），
由此知：

DM

=

OM

-

OD

=（

3

t，2-t ），…（2）
又依题设知：△BCM∽△ANM，
∴

AN

BC

=

AM

BM

=

2-2t

2t

=

1-t

t

，
∴AN=2（

1-t

t

），
又∵∠NAx=30°，
∴y_N=AN•sin30°=

1-t

t

，且x_N=

3

+AN•cos30°=

3

t

，
由此可得：

ON

=（

3

t

，

1-t

t

），
又

OB

=（0，1），
∴

BN

=

ON

-

OB

=（

3

t

，

1-2t

t

）…（3）
由（2），（3）两式得：

DM

•

BN

=2（

t2-t+1

t

），且|

DM

||

BN

|=4（

t2-t+1

t

）．
故cos＜

DM

，

BN

＞=

1

2

，
又＜

DM

，

BN

＞∈[0，π]，
∴＜

DM

，

BN

＞=60°为所求．
（ II ）由（ I ）知：f（t）=2（t+

1

t

-1），且由0＜t＜1知：f（t）＞2，
∴函数y=

2

f(t)

的值域为A=（0，1）．
另由a＞0知：函数y=g（t），t₁∈（0，1）的值域为：B=（4-2a，4-a）．
①若存在t₁，t₂∈（0，1），使得

2

f(t1)

=g（t₂） 成立，则只要两函数的值域A=（0，1）与B=（4-2a，4-a）存在公共元素即可．此时A与B间的关系有以下三种可能：
（ i ） A⊆B时，则必

4-2a≤0 4-a≥1

⇒2≤a≤3；
（ ii ） A∩B≠∅时，则0＜4-2a＜1，或0＜4-a＜1，⇒

3

2

＜a＜2，或3＜a＜4；
（iii） B⊆A时，则必

4-2a≥0 4-a≤1

⇒a无解．   综上，

3

2

＜a＜4，为所求．
②对任意t₁∈（0，1），恒存在t₂∈（0，1），使得

2

f(t1)

=g（t₂）成立，则t∈（0，1）时，函数y=g（t）必取遍函数y=

2

f(t)

值域A=（0，1）中的所有值，此即A⊆B，故由①知：2≤a≤3为所求．

点评：本题考查的知识点是函数的图象和性质，平面向量共线，夹角，数量积，是函数和向量的综合应用，综合性强，运算量大，转化困难，属于难题．