Question

某通讯公司需要在三角形地带OAC区域内建造甲、乙两种通信信号加强中转站，甲中转站建在区域BOC内，乙中转站建在区域AOB内．分界线OB固定，且OB=
（1+

3

）百米，边界线AC始终过点B，边界线OA、OC满足∠AOC=75°，∠AOB=30°，∠BOC=45°．设OA=x（3≤x≤6）百米，OC=y百米．
（1）试将y表示成x的函数，并求出函数y的解析式；
（2）当x取何值时？整个中转站的占地面积S_△OAC最小，并求出其面积的最小值．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由图形知，S_△BOC+S_△AOB=S_△AOC，代入面积公式，求出函数y的解析式；
（2）由（1）知，函数y的解析式，求出S_△AOC的表达式，利用基本不等式求出S_△OAC最小时，x的取值以及最小面积是什么．

解答： 解：（1）结合图形可知，S_△BOC+S_△AOB=S_△AOC．
于是，

1

2

x（1+

3

）sin30°+

1

2

y（1+

3

）sin45°=

1

2

xysin75°，
解得：y=

2 x

x-2

，（其中3≤x≤6）．
（2）由（1）知，y=

2 x

x-2

（3≤x≤6），
因此，S_△AOC=

1

2

xysin75°
=

1+ 3

4

•

x2

x-2

=

1+ 3

4

[（x-2）+

4

x-2

+4]
≥2+2

3

（当且仅当x-2=

4

x-2

，即x=4时，等号成立）．
∴当x=400米时，整个中转站的占地面积S_△OAC最小，最小面积是（2+2

3

）×10⁴平方米．

点评：本题考查了求函数的解析式以及利用基本不等式求函数的最值问题，解题时应根据题意，列出等量关系，求出函数的解析式，是综合题．