题目内容
定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=
x3-2x+m．
（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[-4，4]恒成立，求实数m的取值范围．
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（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；
（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[-4，4]恒成立，求实数m的取值范围．
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（1）求切线方程，就是求k=f′（1），f（1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；
（2）令h（x）=g（x）-f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，转化为求最值问题．
（2）令h（x）=g（x）-f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，转化为求最值问题．
解答：
解：（1）∵f（x）=x2+x
∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，
∴f′（1）=3，
∴所求切线方程为y-2=3（x-1），
即3x-y-1=0；
（2）令h（x）=g（x）-f（x）=
x3-2x+m-x2-x=
x3-3x+m-x2
∴h′（x）=x2-2x-3，
当-4＜x＜-1时，h′（x）＞0，
当-1＜x＜3时，h′（x）＜0，
当3＜x＜4时，h′（x）＞0，
要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，
由上知h（x）的最大值在x=-1或x=4取得，
而h（-1）=m+
，h（4）=m-
，
∵m+
＞m-
，
∴m+
≤0，
即m≤-
．
∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，
∴f′（1）=3，
∴所求切线方程为y-2=3（x-1），
即3x-y-1=0；
（2）令h（x）=g（x）-f（x）=
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∴h′（x）=x2-2x-3，
当-4＜x＜-1时，h′（x）＞0，
当-1＜x＜3时，h′（x）＜0，
当3＜x＜4时，h′（x）＞0，
要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，
由上知h（x）的最大值在x=-1或x=4取得，
而h（-1）=m+
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∵m+
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∴m+
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即m≤-
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点评：导数再函数应用中，求切线方程就是求某点处的导数，再求参数的取值范围中，转化为求函数的最大值或最小值问题．
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