Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为2的菱形，AA₁=2

3

，BD⊥A₁A，∠BAD=∠A₁AC=60°，点M是棱AA₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁C∥平面BMD；
（Ⅱ）求点C₁到平面BDD₁B₁的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连结MO，由已知条件推导出MO∥A₁C，由此能证明A₁C∥平面BMD；
（Ⅱ）设C₁H为C₁到平面BDD₁B₁的距离，证明A₁O⊥平面ABCD，利用等体积，结合点B到平面A₁B₁C₁D₁的距离等于点A₁到平面ABCD的距离A₁O=3，可得点C₁到平面BDD₁B₁的距离．

解答： （Ⅰ）证明：AC∩BD=O，连结MO，
∵A₁M=MA，AO=OC，
∴MO∥A₁C，
∵MO?平面BMD，A₁C不包含于平面BMD，
∴A₁C∥平面BMD                …（4分）
（Ⅱ）解：设C₁H为C₁到平面BDD₁B₁的距离，
∵BD⊥A₁A，BD⊥AC，A₁A∩AC=A，
∴BD⊥平面A₁AC，
∴BD⊥A₁O，
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，
∴AO=

1

2

AC=

3

，
∵AA₁=2

3

，∠A₁AC=60°，
∴A₁O⊥AC，
∵AC∩BD=O，
∴A₁O⊥平面ABCD，…（8分）
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
∴点B到平面A₁B₁C₁D₁的距离等于点A₁到平面ABCD的距离A₁O=3    …（10分）
∵

1

3

•A₁O•

1

2

•2•

3

=

1

3

•C₁H•

1

2

•2•2

3

，
∴C₁H=

3

2

 …（12分）

点评：本题考查线面平行，考查点到平面距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，掌握直线与平面平行的证明方法是关键．