Question

设等差数列{a_n}的公差为d，且a₁，d∈N^*．若设M₁是从a₁开始的前t₁项数列的和，即M₁=a₁+…+a t 1（1≤t₁，t₁∈N^*），M₂=at₁₊₁+at₁₊₂+…+at₂（1＜t₂∈N^*），如此下去，其中数列{M_i}是从第t_i-1+1（t₀=0）开始到第t_i（1＜t_i）项为止的数列的和，即M_i=at_i-1+1+…+at_i（1≤t_i，t_i∈N^*）．
（1）若数列a_n=n（1≤n≤13，n∈N^*），试找出一组满足条件的M₁，M₂，M₃，使得：M₂²=M₁M₃；
（2）试证明对于数列a_n=n（n∈N^*），一定可通过适当的划分，使所得的数列{M_n}中的各数都为平方数；
（3）若等差数列{a_n}中a₁=1，d=2．试探索该数列中是否存在无穷整数数列{t_n}，（1≤t₁＜t₂＜t₃＜…＜t_n），n∈N^*，使得{M_n}为等比数列，如存在，就求出数列{M_n}；如不存在，则说明理由．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用定义，可以找出一组满足条件的M₁，M₂，M₃，使得：M₂²=M₁M₃；
（2）先证明第二段可取3个数，t₂=1+3=4；再证明第三段可取9个数，即t3=1+3+32=13，…，由此即可得出结论；
（3）利用反证法进行证明即可．

解答： （1）解：由题意，M₁=1，M₂=2+3+4=9，M₃=5+6+…+13=81；…（4分）
（2）证明：记t₁=1，即M₁=1，又由2+3+4=9=3²，M2=32，
∴第二段可取3个数，t₂=1+3=4；
再由5+6+…+13=81=3⁴，即M3=34，
因此第三段可取9个数，即t3=1+3+32=13，…，
依次下去，一般地：tn=1+3+…+3n-1=

3n-1

2

，tn+1=

3n+1-1

2

…（6分）
∴Stn=1+2+3+…+

3n-1

2

=

( 3n-1 2 )(1+ 3n-1 2 )

2

，…（8分）
Stn+1=1+2+3+…+

3n+1-1

2

=

( 3n+1-1 2 )(1+ 3n+1-1 2 )

2

…（9分）
则Mn+1=Stn+1-Stn=

( 3n+1-1 2 )(1+ 3n+1-1 2 )

2

-

( 3n-1 2 )(1+ 3n-1 2 )

2

=32n．由此得证．…（11分）
（3）解：不存在．令Stn=tna1+

tn(tn-1)

2

d=

t

2 n

，则Mn=

t

2 n

-

t

2 n-1

假设存在符合题意的等差数列，则{M_n}的公比必为大于1的整数，
（∵Mn≥

t

2 n

-(tn-1)2=2tn-1∴Mn→+∞，因此q＞1），
即Mn=M1qn-1∈N*
此时，注意到，

t

2 3

=M3+M2+M1=M1(1+q+q2)=

t

2 1

(1+q+q2)…（14分）
要使

t

2 3

=

t

2 1

(1+q+q2)成立，则1+q+q²必为完全平方数，…（16分）
但q²＜1+q+q²＜（q+1）²，矛盾．
因此不存在符合题意的等差数列{M_n}．…（18分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，有难度．