题目内容
12..已知数列{an},{bn}满足:an+bn=1,bn+1=$\frac{b_n}{{(1-{a_n})(1+{a_n})}}$,且a1,b1是函数f(x)=16x2-16x+3的零点(a1<b1).(1)求a1,b1,b2;
(2)设cn=$\frac{1}{{{b_n}-1}}$,求证:数列{cn}是等差数列,并求bn的通项公式;
(3)设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1,不等式4aSn<bn恒成立时,求实数a的取值范围.
分析 (1)由16x2-16x+3=0解得:${x_1}=\frac{1}{4},{x_2}=\frac{3}{4}$,可得a1,b1.由${a_n}+{b_n}=1,{b_{n+1}}=\frac{b_n}{{(1-{a_n})(1+{a_n})}}$,得${b_{n+1}}=\frac{b_n}{{{b_n}(2-{b_n})}}=\frac{1}{{2-{b_n}}}$,可得b2.
(2)由${b_{n+1}}-1=\frac{1}{{2-{b_n}}}-1$,可得$\frac{1}{{{b_{n+1}}-1}}=\frac{{2-{b_n}}}{{{b_n}-1}}=\frac{1}{{{b_n}-1}}-1$.即cn+1=cn-1,利用等差数列的通项公式可得cn,bn.
(3)利用“裂项求和”方法可得Sn,对a分类讨论,通过转化利用单调性即可得出.
解答 解:(1)由16x2-16x+3=0解得:${x_1}=\frac{1}{4},{x_2}=\frac{3}{4}$,
∴${a_1}=\frac{1}{4},{b_1}=\frac{3}{4}$.
由${a_n}+{b_n}=1,{b_{n+1}}=\frac{b_n}{{(1-{a_n})(1+{a_n})}}$,得${b_{n+1}}=\frac{b_n}{{{b_n}(2-{b_n})}}=\frac{1}{{2-{b_n}}}$,
将${b_1}=\frac{3}{4}$代入得${b_2}=\frac{4}{5}$.
(2)∵${b_{n+1}}-1=\frac{1}{{2-{b_n}}}-1$,∴$\frac{1}{{{b_{n+1}}-1}}=\frac{{2-{b_n}}}{{{b_n}-1}}=\frac{1}{{{b_n}-1}}-1$.
即cn+1=cn-1,
又${c_1}=\frac{1}{{{b_1}-1}}=\frac{1}{{\frac{3}{4}-1}}=-4$.
故:数列{cn}是以-4为首项,-1为公差的等差数列.
于是cn=-4+(n-1)×(-1)=-n-3,
由${c_n}=\frac{1}{{{b_n}-1}}$得${b_n}=\frac{1}{c_n}+1=1-\frac{1}{n+3}=\frac{n+2}{n+3}$.
(3)不由题意及(2)知:${a_n}=1-{b_n}=\frac{1}{n+3}$.
$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(n+3)(n+4)}$=$\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4}$.
∴Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+1
=$(\frac{1}{4}-\frac{1}{5})+(\frac{1}{5}-\frac{1}{6})$+…+$(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+4})$
=$\frac{1}{4}-\frac{1}{n+4}$
=$\frac{n}{4(n+4)}$.
由$4a{S_n}-{b_n}=\frac{an}{n+4}-\frac{n+2}{n+3}=\frac{{(a-1){n^2}+(3a-6)n-8}}{(n+3)(n+4)}<0$恒成立,
即(a-1)n2+(3a-6)n-8<0恒成立即可,)
设f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8
①当a=1时,f(n)=-3n-8<0恒成立
②当a>1时,由二次函数的性质f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8<0不可能恒成立.
③当a<1时,由于$-\frac{3a-6}{2(a-1)}=-\frac{3}{2}(1-\frac{1}{a-1})<0$,
∴f(n)=(a-1)n2+(3a-6)n-8在[1,+∞)上单调递减,
由f(1)=(a-1)n2+(3a-6)n-8=4a-15<0得$a<\frac{15}{4}$,
∴a<1,4aSn<bn恒成立.
综上所述:所求a的取值范围是(-∞,1].
点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、“裂项求和”方法、数列递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
| A. | f(2016)>e2016f(0) | B. | f(2016)<e2016f(0) | ||
| C. | f(2016)=e2016f(0) | D. | f(2016)与e2016f(0)大小无法确定 |
| A. | 0 | B. | 1 | C. | 随a变化 | D. | 随θ变化 |
| A. | 8π | B. | 12π | C. | 16π | D. | 4π |