题目内容
已知椭圆
+
=1，平面内一点P（2，1），M是指圆上任意一点，F是椭圆右焦点．
（1）求|MP|+
|MF|的最小值；
（2）F1为左焦点，M是椭圆上任意一点，求|
|+|
|的最大值和最小值．
| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
（1）求|MP|+
| 5 |
| 4 |
（2）F1为左焦点，M是椭圆上任意一点，求|
| MP |
| MF1 |
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）根据题意画出图形，利用椭圆的第二定义，把|MF|转化到右准线的距离，利用“两点间的距离最短”和条件，求出最小值；
（2）连结MF1，作过P、F的直线交椭圆于M1、M2两点．根据椭圆的定义算出|
|+|
|=MP|+（2a-|MF|）=10+（|MP|-|MF|），由平面几何知识得-|PF|≤|MP|-|MF|≤|PF|，再利用两点间的距离公式加以计算，可得|
|+|
|的最值．
（2）连结MF1，作过P、F的直线交椭圆于M1、M2两点．根据椭圆的定义算出|
| MP |
| MF1 |
| MP |
| MF1 |
解答：
解：（1）椭圆
+
=1的a=5，b=3，则c=4，右准线l：x=
，
离心率为e=
，由题意的第二定义，可知e=
，
则有|MP|+
|MF|=|MP|+|MK|，
显然当M，P，K共线时，|MP|+|MK|最小，
过M作MD垂直于直线l，垂足为D，则最小值为：
-2=
，
即有|MP|+
|MF|的最小值为
；
（2）∵|MF1|+|MF|=2a=10，
∴|MF1|=10-|MF|，
则|
|+|
|=10-|MF|+|MP|=6+（|MP|-|MF|），
当点M位于M1时，|MP|-|MF|的差最小，其值为-|PF|=-
此时，|
|+|
|也得到最小值，其值为10-
；
当点M位于M2时，|MP|-|MF|的差最大，其值为|PF|=
此时|
|+|
|也得到最大值，其值为10+
．
解：（1）椭圆| x2 |
| 25 |
| y2 |
| 9 |
| 25 |
| 4 |
离心率为e=
| 4 |
| 5 |
| |MF| |
| |MK| |
则有|MP|+
| 5 |
| 4 |
显然当M，P，K共线时，|MP|+|MK|最小，
过M作MD垂直于直线l，垂足为D，则最小值为：
| 25 |
| 4 |
| 17 |
| 4 |
即有|MP|+
| 5 |
| 4 |
| 17 |
| 4 |
（2）∵|MF1|+|MF|=2a=10，
∴|MF1|=10-|MF|，
则|
| MP |
| MF1 |
当点M位于M1时，|MP|-|MF|的差最小，其值为-|PF|=-
| 5 |
此时，|
| MP |
| MF1 |
| 5 |
当点M位于M2时，|MP|-|MF|的差最大，其值为|PF|=
| 5 |
此时|
| MP |
| MF1 |
| 5 |
点评：本题给出椭圆的右焦点为F，点P是椭圆内一个定点，求椭圆上动点M到P、F两点的距离和的最小值．着重考查了两点间的距离公式、椭圆的定义与标准方程等知识，属于中档题．
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