题目内容
设A、B分别为椭圆
+
=1（a＞b＞0）的左、右顶点，（1，
）为椭圆上一点，椭圆的长半轴的长等于焦距．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P（4，x），（x≠0），若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M，N，证明点B在以MN为直径的圆内．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
（1）求椭圆的方程；
（2）设P（4，x），（x≠0），若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M，N，证明点B在以MN为直径的圆内．
考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程
专题：向量与圆锥曲线
分析：（1）由点（1，
）在椭圆上得到a，b的关系式，再由a=2c及隐含条件联立求得a，b，则椭圆方程可求；
（2）设出P，M的坐标，得到AP的点斜式方程，和椭圆联立求得M的坐标，同理求得n的坐标，由
，
的数量积小于0得答案．
| 3 |
| 2 |
（2）设出P，M的坐标，得到AP的点斜式方程，和椭圆联立求得M的坐标，同理求得n的坐标，由
| BM |
| BN |
解答：
（1）解：∵（1，
）为椭圆上一点，
∴
+
=1，即
+
=1，
又a=2c，a2=b2+c2，
∴a=2，b=
．
所求椭圆方程为
+
=1；
（2）证明：由（1）知，A（-2，0），B（2，0），
设P（4，t），M（xM，yM），
则直线PA的方程为：y=
（x+2），（t≠0）．
由
，得 （27+t2）x2+4t2x+4t2-108=0．
∵直线PA与椭圆相交于异于A的点M，
∴-2+xM=-
，
xM=
，
由yM=
（xM+2），得yM=
．
M（
，
）．
同理求得N（
，
）．
∴
=(
，
)，
=(-
，
)．
由
•
=
•
-
•
=
=
＜0．
∴点B在以MN为直径的圆内．
| 3 |
| 2 |
∴
| 12 |
| a2 |
(
| ||
| b2 |
| 1 |
| a2 |
| 9 |
| 4b2 |
又a=2c，a2=b2+c2，
∴a=2，b=
| 3 |
所求椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）证明：由（1）知，A（-2，0），B（2，0），
设P（4，t），M（xM，yM），
则直线PA的方程为：y=
| t |
| 6 |
由
|
∵直线PA与椭圆相交于异于A的点M，
∴-2+xM=-
| 4t2 |
| t2+27 |
xM=
| 54-2t2 |
| t2+27 |
由yM=
| t |
| 6 |
| 18t |
| t2+27 |
M（
| 54-2t2 |
| t2+27 |
| 18t |
| t2+27 |
同理求得N（
| 2t2-6 |
| t2+3 |
| -6t |
| t2+3 |
∴
| BM |
| -4t2 |
| t2+27 |
| 18t |
| t2+27 |
| BN |
| 12 |
| t2+3 |
| -6t |
| t2+3 |
由
| BM |
| BN |
| 4t2 |
| t2+27 |
| 12 |
| t2+3 |
| 18t |
| t2+27 |
| 6t |
| t2+3 |
=
| 48t2-108t2 |
| (t2+27)(t2+3) |
| -60t2 |
| (t2+27)(t2+3) |
∴点B在以MN为直径的圆内．
点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，特别是对于（2）的证明，转化为两向量的数量积小于0使问题变的相应简洁，考查了学生的计算能力，是压轴题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是AD1、BD的中点．