Question

用[x]表示不超过x的最大整数，例如[-2.5]=-3，[2.5]=2，设函数f（x）=[x[x]]．
（1）f（3.6）=

 

；
（2）若函数f（x）的定义域是[0，n），n∈N⁺，则其值域中元素个数为

 

．

Answer 1

考点：函数的值,元素与集合关系的判断

专题：函数的性质及应用,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题（1）利用取整函数的规定，求出[3.6]的值，再求出[3.6[3.6]]的值，得到本题结论；（2）利用取整函数的规定，根据x∈[0，n），找出其函数值的取值规律，求出值域中元素个数，得到本题结论．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=[x[x]]，
∴f（3.6）=[3.6[3.6]]=[3.6×3]=[10.8]=10．
（2）∵函数f（x）的定义域是[0，n），n∈N⁺，
∴当0≤x＜1时，[x]=0，f（x）=[x[x]]=[x×0]=[0]=0，函数值有1个，
当1≤x＜2时，[x]=1，f（x）=[x[x]]=[x×1]=[x]=1，函数值有1个，
当2≤x＜3时，4≤2x＜6
[x]=2，f（x）=[x[x]]=[x×2]=[2x]，能取到4，5，函数值有2个，
当3≤x＜4时，9≤3x＜12，
[x]=3，f（x）=[x[x]]=[x×3]=[3x]，能取到9，10，11，函数值有3个，
当4≤x＜5时，16≤4x＜20，
[x]=4，f（x）=[x[x]]=[x×4]=[4x]，能取到16，17，18，19，函数值有4个，
…
当n-1≤x＜n时，（n-1）²≤（n-1）x＜n（n-1），
[x]=n-1，f（x）=[x[x]]=[x×（n-1）]=[（n-1）x]，能取到（n-1）²，（n-1）²+1，（n-1）²+2，…，n（n-1）-1，函数值有n-1个，
∴值域中元素个数为：1+1+2+3+…+（n-1）=

n2-n+2

2

．
故答案为：

n2-n+2

2

．

点评：本题考查了取整函数的定义及其应用，本题有一定的难度，属于中档题．