Question

14．在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知$\frac{b}{a+c}$=$\frac{a+b-c}{a+b}$
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若a=15，b=10，求cosB的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知整理可得：b²+c²-a²=bc，利用余弦定理可求cosA=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，π），可求A的值．
（Ⅱ）利用大边对大角可求B为锐角，利用正弦定理可求sinB=$\frac{b•sinA}{a}$，进而利用同角三角函数基本关系式可得cosB的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{b}{a+c}$=$\frac{a+b-c}{a+b}$，整理可得：b²+c²-a²=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）∵A=$\frac{π}{3}$，a=15，b=10，a＞b，
∴B为锐角，
∴sinB=$\frac{b•sinA}{a}$=$\frac{10×\frac{\sqrt{3}}{2}}{15}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$

点评 本题主要考查了余弦定理，大边对大角，正弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．