Question

3．已知角α的顶点在坐标原点O，始边与x轴的正半轴重合，终边过点P（1，7）．
（1）求cos（$\frac{π}{4}$+α）的值；
（2）若$\frac{3π}{4}$＜β＜$\frac{5π}{4}$，sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，求sin（α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得x=1，y=7，可得r的值，由运算求得cosα，sinα结果，进而利用两角和的余弦函数公式即可计算得解．
（2）由（1）利用两角和的正弦函数公式可得sin（$\frac{π}{4}$+α）的值，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式可求cos（β-$\frac{π}{4}$）的值，进而利用两角和的正弦函数公式可求sin（α+β）的值．

解答 解：（1）∵由题意可得：x=1，y=7，
∴r=5$\sqrt{2}$，
∴cosα=$\frac{x}{r}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，sinα=$\frac{y}{r}$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
∴cos（$\frac{π}{4}$+α）=cos$\frac{π}{4}$cosα-sin$\frac{π}{4}$sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{10}$-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$）=-$\frac{3}{5}$．
（2）由（1）可得：sin（$\frac{π}{4}$+α）=sin$\frac{π}{4}$cosα+cos$\frac{π}{4}$sinα=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{10}$+$\frac{7\sqrt{2}}{10}$）=$\frac{4}{5}$．
∵$\frac{3π}{4}$＜β＜$\frac{5π}{4}$，sin（β-$\frac{π}{4}$）=$\frac{5}{13}$，
∴可得：$\frac{π}{2}$＜$β-\frac{π}{4}$＜π，cos（β-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（β-\frac{π}{4}）}$=-$\frac{12}{13}$，
∴sin（α+β）
=sin[（$\frac{π}{4}$+α）+（β-$\frac{π}{4}$）]
=sin（$\frac{π}{4}$+α）cos（β-$\frac{π}{4}$）+cos（$\frac{π}{4}$+α）sin（β-$\frac{π}{4}$）
=$\frac{4}{5}$×（-$\frac{12}{13}$）+（-$\frac{3}{5}$）×$\frac{5}{13}$
=-1．

点评 本题考查任意角的三角函数的定义，两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．