Question

17．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知DA=DC=4，DD₁=3，
（1）求异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值．．
（2）若点E、F分别是AB、A₁B的中点，求证：EF∥平面BDD₁．

Answer 1

分析 （1）连接A₁D，将B₁C平移到A₁D，根据异面直线所成角的定义可知∠BA₁D为异面直线A₁B与B₁C所成的角，在△A₁DB中利用余弦定理求出此角的余弦值；
（2）连接BD₁，根据EF∥DD₁来证明EF∥平面BDD₁．

解答 解：（1）连接A₁D，
∵A₁D∥B₁C，
∴∠BA₁D为异面直线A₁B与B₁C所成的角．
连接BD，在△A₁DB中，A₁B=A₁D=5，BD=4$\sqrt{2}$，
则cos∠BA₁D=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+{A}_{1}{D}^{2}-B{D}^{2}}{2{A}_{1}B•{A}_{1}D}$=$\frac{25+25-32}{2•5•5}$=$\frac{9}{25}$．
∴异面直线A₁B与B₁C所成角的余弦值为$\frac{9}{25}$；
（2）证明：∵点E、F分别是AB、A₁B的中点，
∴EF∥AA₁．
∵DD₁∥AA₁，
∴EF∥DD₁，
又DD₁?平面BDD₁，EF?平面BDD₁，
∴EF∥平面BDD₁．

点评 本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．