Question

16．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是线段BC、CD₁的中点．
（1）求异面直线EF与AA₁所成角的大小
（2）求直线EF与平面AA₁B₁B所成角的大小．

Answer 1

分析 建立如图所示的坐标系，利用向量方法，即可求出所求角．

解答 解：（1）建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则E（1，2，0），F（0，1，1），A（2，0，0），A₁（2，0，2），
∴$\overrightarrow{EF}$=（-1，-1，1），$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（0，0，2），
∴异面直线EF与AA₁所成角的余弦值为|$\frac{2}{\sqrt{3}•2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴异面直线EF与AA₁所成角的大小为arccos$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）平面AA₁B₁B的法向量为（1，0，0），
∴直线EF与平面AA₁B₁B所成角的正弦值为|$\frac{-1}{\sqrt{3}•1}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴直线EF与平面AA₁B₁B所成角的大小为arcsin$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查空间角，考查向量方法的运用，正确求出向量的坐标是关键．