Question

9．在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△BCE为等边三角形，平面ABCD⊥平面BCE，F为CD上的动点，当AF+EF最小时，四棱锥E-ABCD与三棱锥F-ABE的外接球的半径之比为2$\sqrt{7}$：5．

Answer 1

分析 建立空间直角坐标系，如图所示，M（0，0，0），A（-1，2，0），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，2，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），设点F（1，y，0），其中0≤y≤2；|AF|+|EF|=$\sqrt{4{+（y-2）}^{2}}$+$\sqrt{1{+y}^{2}+3}$=$\sqrt{{（y-2）}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+4}$，如图根据对称性，F为CD上的中点时，AF+EF最小，设四棱锥E-ABCD心为G（0，1，m）则GE=GC⇒m=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，⇒四棱锥E-ABCD半径R²，同理三棱锥F-ABE的外接球半径r²，即可求四棱锥E-ABCD与三棱锥F-ABE的外接球的半径之比

解答 解：建立空间直角坐标系，如图所示，
底面正方形ABCD的边长为2，△BCE为等边三角形，平面ABCD⊥平面BCE，
∴M（0，0，0），A（-1，2，0），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，2，0），E（0，0，$\sqrt{3}$），
设点F（1，y，0），其中0≤y≤2；
|AF|+|EF|=$\sqrt{4{+（y-2）}^{2}}$+$\sqrt{1{+y}^{2}+3}$=$\sqrt{{（y-2）}^{2}+4}$+$\sqrt{{y}^{2}+4}$…①
①式表示在平面直角坐标系中点P（a，0）到点M（0，2），N（2，2）的距离和，如图根据对称性，可知a=1时，其距离和最小．
∴F为CD上的中点时，AF+EF最小，
设四棱锥E-ABCD心为G（0，1，m）
则GE=GC⇒m=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，∴四棱锥E-ABCD半径R²=$\frac{7}{3}$
设三棱锥F-ABE的外接球球心H（x，y，z）
则HA=HB=HE=HF⇒x=-$\frac{1}{4}$，y=1，z=$\frac{5\sqrt{3}}{12}$．
    三棱锥F-ABE的外接球半径r²=$\frac{25}{12}$，
四棱锥E-ABCD与三棱锥F-ABE的外接球的半径之比等于2$\sqrt{7}$：5
故答案为：2$\sqrt{7}$：5

点评 本题考查了空间几何体的外接球，涉及到了运用函数的知识处理动点问题，建立坐标系求球的球心，属于难题．