Question

数列{a_n}是等差数列且a₂=3，a₄=5；数列{b_n}的前n项和为S_n，且2S_n=3b_n-3（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列{a_n}的通项公式可得a_n．由2S_n=3b_n-3（n∈N^*），令n=1，则2b₁=3b₁-3，解得b₁=3．
当n≥2时，2b_n=2S_n-2S_n-1，再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）a_n•b_n=（n+1）•3ⁿ．再利用等比数列的前n项和公式、“错位相减法”即可得出．

解答： 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₂=3，a₄=5，可得

a1+d=3 a1+3d=5

，解得

a1=2 d=1

，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2+（n-1）×1=n+1．
由2S_n=3b_n-3（n∈N^*），令n=1，则2b₁=3b₁-3，解得b₁=3．
当n≥2时，2b_n=2S_n-2S_n-1=（3b_n-3）-（3b_n-1-3），化为b_n=3b_n-1，
∴数列{b_n}是等比数列，
∴bn=b1•qn-1=3×3^n-1=3ⁿ．
（2）a_n•b_n=（n+1）•3ⁿ．
∴T_n=2×3¹+3×3²+…+（n+1）•3ⁿ，
3T_n=2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ+（n+1）•3ⁿ⁺¹，
∴两式相减可得-2T_n=2×3+3²+3³+…+3ⁿ-（n+1）•3ⁿ⁺¹
=3+

3×(3n-1)

3-1

-（n+1）•3ⁿ⁺¹=

3

2

-

2n+1

2

•3n+1，
∴T_n=

2n+1

4

•3n+1-

3

4

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．