Question

设函数f（x）=a-

2

2x+1

．
（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（3）在（2）的条件下求f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用函数单调性的定义即可证明不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0，即可求出a的值；
（3）根据指数函数和分式函数的性质即可求f（x）的值域．

解答： 解：（1）设x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，则f（x₁）＜f（x₂），
即不论a为何实数f（x）总为增函数；
（2）∵函数f（x）的定义域为R，若f（x）为奇函数，
∴f（0）=0，即a-

2

1+1

=a-1=0，解得a=1；
（3）当a=1时，f（x）=1-

2

2x+1

，
∵2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，0＜

2

2x+1

＜2，
-2＜-

2

2x+1

＜0，
-1＜1-

2

2x+1

＜1，即-1＜f（x）＜1，
即此时f（x）的值域为（-1，1）．

点评：本题主要考查函数单调性和奇偶性的性质以及函数值域的求解，利用定义法以及分式函数的性质是解决本题的关键．