Question

将正奇数组成的数列{a_n}的项：1，3，5，7，9，11，…，按下表排成5列：

	第1列	第2列	第3列	第4列	第5列
第一行		1	3	5	7
第二行	15	13	11	9
第三行		17	19	21	23
第四行	…	…	27	25

（Ⅰ）求第五行到第十行的所有数的和；
（Ⅱ）已知点A₁（a₁，b₁），A₂（a₂，b₂），…，A_n（a_n，b_n）在指数函数y=2^x的图象上，如图，过A₁，A₂，…，A_n分别作x轴、y轴的垂线，与x轴、y轴分别相交于B₁，B₂，…，B_n；C₁，C₂，…，C_n，矩形OB₁A₁C₁，OB₂A₂C₂，…，OB_nA_nC_n的分别面积为S₁，S₂，…，S_n，求S₁+S₂+…+S_n的值T_n．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）正奇数组成的数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1，由题意可得，第五行的第一个数为a₁₇=1+16×2=33，第五行到第十行的所有数共有24个，再利用等差数列的求和公式求得第五行到第十行的所有数的和．
（Ⅱ）由A_n（a_n，b_n）在指数函数y=2^x的图象上，可得 b_n=2an=2^2n-1，求得 S₁、S₂、，…，S_n，可得T_n=1×2+3×2³+5×2⁵+…+（2n-1）•2^2n-1，再利用错位相减求得T_n的值．

解答： 解：（Ⅰ）正奇数组成的数列{a_n}是首项为2，且公差为2的等差数列，故有a_n=2n-1，
由题意可得，第五行的第一个数为a₁₇=1+16×2=33，第五行到第十行的所有数共有24个，
故第五行到第十行的所有数的和为24×33+

24×23

2

×2=1344．
（Ⅱ）∵A_n（a_n，b_n）在指数函数y=2^x的图象上，∴b_n=2an=2^2n-1，
∴S₁=a₁•b₁=1×2=2，S₂=a₂•b₂=3×8=24，…，S_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^2n-1．
∴T_n=1×2+3×2³+5×2⁵+…+（2n-1）•2^2n-1  ①，
∴4T_n=1×2³+3×2⁵+5×2⁷+…+（2n-3）•2^2n-1+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹ ②，
①-②可得-3T_n=2+2（2³+2⁵+2⁷+…+2^2n-1）-（2n-1）2²ⁿ⁺¹=2（2+2³+2⁵+2⁷+…+2^2n-1）-2-（2n-1）2²ⁿ⁺¹ 
=2×

2×(1-4n)

1-4

-2-（2n-1）2²ⁿ⁺¹=（

10

3

-4n）•4ⁿ-

10

3

，
∴T_n=（

4n

3

-

10

9

）•4ⁿ+

10

9

．

点评：本题主要考查等差数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的应用，指数函数的图象和性质应用，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．