Question

已知函数f（x）=x³-x²+bx+c，且f（x）在x=1处取得极值
（1）求b的值；
（2）若当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围；
（3）对任意的x₁，x₂∈[-1，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤0是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=3x²-2x+b，代入求b；
（2）化简f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），从而得到f（x）的单调性，恒成立问题转化为函数的最值问题，从而得到2+c＜c²，从而解出；
（3）判断f（x₁）-f（x₂）是否是恒等于0即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²-2x+b，
则由f（x）在x=1处取得极值可得，
f′（1）=3•1²-2•1+b=0，
解得，b=-1；
（2）f′（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），
则f（x）在（-∞，-

1

3

）上是增函数，
在（1，+∞）上是增函数，
在（-

1

3

，1）上是减函数；
又由f（-

1

3

）=

5

27

+c，f（2）=2+c，
则当x∈[-1，2]时，f（x）＜c²恒成立可化为
2+c＜c²，
则c＞2或c＜-1；
（3）∵f（x₁）-f（x₂）不可能恒等于0，
∴任意的x₁，x₂∈[-1，2]，|f（x₁）-f（x₂）|≤0不可能恒成立．

点评：本题考查了导数的综合应用及极值的应用，属于中档题．