题目内容
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为
．现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…直到袋中的球取完即终止．若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分．每个球在每一次被取出的机会是等可能的．用ξ表示甲四次取球获得的分数之和．
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布列及期望Eξ．
| 1 |
| 7 |
（Ⅰ）求袋中原有白球的个数；
（Ⅱ）求随机变量ξ的概率分布列及期望Eξ．
考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）设袋中原有n个白球，由题设条件得到
=
=
，由此能求出袋中原有白球个数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知袋中有3个白球、4个黑球，由此得到ξ可能的取值是4，5，6，7．分别求出相对应的概率，从而能求出随机变量ξ的概率分布列及期望Eξ．
| 1 |
| 7 |
| ||
|
| n(n-1) |
| 7×6 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）知袋中有3个白球、4个黑球，由此得到ξ可能的取值是4，5，6，7．分别求出相对应的概率，从而能求出随机变量ξ的概率分布列及期望Eξ．
解答：
解：（Ⅰ）设袋中原有n个白球，
由题意知：
=
=
，
解得n=3或n=-2（舍去），
∴袋中原有3个白球；
（Ⅱ）由上得．袋中有3个白球、4个黑球．
甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白．
相应的分数之和为4分、5分、6分、7分，
即ξ可能的取值是4，5，6，7．
P(ξ=4)=
=
；
P(ξ=5)=
=
；
P(ξ=6)=
=
；
P(ξ=7)=
=
．
∴ξ的分布列为：
Eξ=4×
+5×
+6×
+7×
=
．
由题意知：
| 1 |
| 7 |
| ||
|
| n(n-1) |
| 7×6 |
解得n=3或n=-2（舍去），
∴袋中原有3个白球；
（Ⅱ）由上得．袋中有3个白球、4个黑球．
甲四次取球可能的情况是：4个黑球、3黑1白、2黑2白、1黑3白．
相应的分数之和为4分、5分、6分、7分，
即ξ可能的取值是4，5，6，7．
P(ξ=4)=
| ||
|
| 1 |
| 35 |
P(ξ=5)=
| ||||
|
| 12 |
| 35 |
P(ξ=6)=
| ||||
|
| 18 |
| 35 |
P(ξ=7)=
| ||||
|
| 4 |
| 35 |
∴ξ的分布列为：
| ξ | 4 | 5 | 6 | 7 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| 1 |
| 35 |
| 12 |
| 35 |
| 18 |
| 35 |
| 4 |
| 35 |
| 40 |
| 7 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．
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